อนุกรม (Sequence)

ความหมายของอนุกรม

อนุกรม (Sequence) หมายถึง ลำดับของตัวเลขที่เรียงต่อกันตามกฎเกณฑ์หรือลักษณะเฉพาะ เช่น 1, 3, 5, 7...

• ลำดับ (Sequence):
- ลำดับคือลำดับของตัวเลขที่เรียงกัน เช่น 2, 4, 6, 8...
- มีลักษณะสำคัญ เช่น
• ลำดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence): ความต่างระหว่างพจน์เท่ากัน เช่น 1, 3, 5, 7... (ความต่างเท่ากับ 2)
• ลำดับเรขาคณิต (Geometric Sequence): แต่ละพจน์เกิดจากการคูณด้วยค่าคงที่ เช่น 2, 4, 8, 16... (คูณ 2 ทุกพจน์)
• ลำดับ: การจัดเรียงตัวเลขที่มีแบบแผน เช่น 1, 3, 5, 7, 9, ...
• อนุกรม: ผลรวมของลำดับ เช่น 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ...

อนุกรมเลขคณิต (Arithmetic Sequence)

ลำดับที่ตัวเลขเพิ่ม/ลดเท่ากันในแต่ละลำดับ

พจน์ที่ n: \( a_n = a + (n - 1)d \)
ผลรวม: \( S_n = \frac{n}{2}(a + l) \) หรือ \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] \)
• \( a \): พจน์แรก
• \( d \): ผลต่างร่วม
• \( n \): จำนวนพจน์ทั้งหมด
• \( l \): พจน์สุดท้าย

อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Sequence)

ลำดับที่ตัวเลขเพิ่มขึ้น/ลดลงโดยการคูณหรือหารค่าคงที่

พจน์ที่ n: \( a_n = ar^{n-1} \)
ผลรวม: \( S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \), \( r \neq 1 \)
• \( a \): พจน์แรก
• \( r \): อัตราส่วนร่วม
• \( n \): จำนวนพจน์ทั้งหมด

ระดับมัธยมศึกษาปีที่ 4-6 (ขั้นสูง)

อนุกรมลำดับอนันต์ (Infinite Sequence)

ลำดับที่มีพจน์จำนวนไม่สิ้นสุด เช่น 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...

อนุกรมอนันต์ (Infinite Series)

ผลรวมของลำดับที่มีพจน์จำนวนไม่สิ้นสุด

\( S = \frac{a}{1 - r} \), \( |r| < 1 \)

ตัวอย่างการใช้งาน

• ลำดับ \( 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + \dots \): มีผลรวม \( S = 2 \)
• ลำดับ \( 1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) \): มีผลรวม \( S = n^2 \)

การประยุกต์ใช้อนุกรม

• ฟิสิกส์: การคำนวณการเคลื่อนที่
• การเงิน: การคำนวณดอกเบี้ยทบต้น
• การเขียนโปรแกรม: การคำนวณ Fibonacci Sequence

**อนุกรม** เป็นหัวข้อที่สำคัญทั้งในด้านทฤษฎีและการประยุกต์ใช้งานในชีวิตประจำวัน!

อุปมาอุปไมย

1. ความหมายของอุปมาอุปไมย

อุปมาอุปไมย(Analogy) คือ การเปรียบเทียบสิ่งหนึ่งกับอีกสิ่งหนึ่งที่มีลักษณะคล้ายคลึงกัน เพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้น เช่น

เช่นเดียวกับการหาผลลัพธ์จากลำดับอนุกรมเลขคณิต หรือ ลำดับอนุกรมเรขาคณิต ที่มีสูตรกำหนดลักษณะของพจน์ต่างๆ ตามลำดับ

ตัวอย่างอุปมาอุปไมยในคณิตศาสตร์:

• ลำดับอนุกรมเลขคณิต: \( a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \), เป็นการเปรียบเทียบเส้นตรงที่มีความชันคงที่
• ลำดับอนุกรมเรขาคณิต: \( a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \), การขยายตัวในลักษณะทวีคูณ
• การคำนวณผลรวมของอนุกรม: \( S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \)

ในอนุกรมเรขาคณิต ตัวอย่างของลำดับอนุกรมที่มีพจน์ดังนี้:

\( 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \dots \)

เมื่อ \( a_1 = 1 \) และ \( r = \frac{1}{2} \) ดังนั้นพจน์ที่ \( n \)-th สามารถคำนวณได้จากสูตร \( a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \)

การเปรียบเทียบอุปมาอุปไมย:

• เส้นตรงและอนุกรมเลขคณิตเหมือนกันตรงที่มีการเพิ่มค่าคงที่ทุกครั้ง
• อนุกรมเรขาคณิตก็เหมือนกับการเติบโตแบบทวีคูณ ซึ่งคล้ายกับการขยายขนาดของทรัพย์สิน

2. ประเภทของความสัมพันธ์ในอุปมาอุปไมย

• ความสัมพันธ์เชิงหน้าที่: แสดงความเชื่อมโยงผ่านหน้าที่การใช้งาน
ตัวอย่าง: ค้อน : ตอกตะปู :: ปากกา : เขียนหนังสือ
• ความสัมพันธ์เชิงคุณสมบัติ: เปรียบเทียบความเหมือนหรือต่างในเชิงลักษณะ
ตัวอย่าง: น้ำ : ใส :: ถ่าน : ดำ
• ความสัมพันธ์เชิงประเภท: เปรียบเทียบสิ่งที่จัดอยู่ในกลุ่มเดียวกัน
ตัวอย่าง: แมว : สัตว์เลี้ยง :: กุหลาบ : พืช
• ความสัมพันธ์เชิงเหตุและผล: เปรียบเทียบเหตุและผล
ตัวอย่าง: ฝนตก : น้ำท่วม :: ไฟไหม้ : ควัน
• ความสัมพันธ์เชิงลำดับขั้น: เปรียบเทียบความสัมพันธ์ในเชิงลำดับขั้น
ตัวอย่าง: ครูใหญ่ : ครู :: นายพล : ทหาร

3. จุดมุ่งหมายในการเรียนอุปมาอุปไมย

ช่วยพัฒนาทักษะการวิเคราะห์และเชื่อมโยงข้อมูล เพิ่มความสามารถในการแก้ปัญหาและทำความเข้าใจความสัมพันธ์ที่ซับซ้อน

4. ประโยชน์จากการเรียนอุปมาอุปไมย

• พัฒนาทักษะการคิดอย่างเป็นระบบ
• เสริมสร้างความเข้าใจในการเชื่อมโยงแนวคิดหรือข้อมูล
• เป็นพื้นฐานสำคัญสำหรับการแก้โจทย์ปัญหาในชีวิตประจำวัน

5. ตัวอย่าง

สรุป

การเรียนเรื่องอุปมาอุปไมยช่วยพัฒนาทักษะการคิดและการเชื่อมโยงข้อมูล ทำให้เข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งต่างๆ ได้ง่ายขึ้น และช่วยแก้ปัญหาได้อย่างมีประสิทธิภาพ

แบบฝึกหัดอนุกรม

หัวข้อที่ 1: อนุกรมเลขคณิต

ข้อที่ 1:

กำหนดอนุกรม 5, 10, 15, 20, ... หาพจน์ที่ 10 ของอนุกรมนี้

วิธีทำ:

1. อนุกรมเลขคณิตมีการเพิ่มค่าคงที่ในแต่ละพจน์, ค่าคงที่นี้เรียกว่า "ผลต่าง" (d)
2. จากตัวอย่างนี้, ค่า d = 5 และ a₁ = 5 (พจน์แรกของอนุกรม)
3. ใช้สูตรอนุกรมเลขคณิต: a_n = a₁ + (n-1) × d
4. แทนค่าลงในสูตร: a₁₀ = 5 + (10-1) × 5 = 5 + 45 = 50
5. ดังนั้น พจน์ที่ 10 ของอนุกรมนี้คือ 50

ข้อที่ 2:

กำหนดอนุกรม 2, 4, 6, 8, ... หาพจน์ที่ 15 ของอนุกรมนี้

วิธีทำ:

1. อนุกรมนี้มีการเพิ่มค่าคงที่ 2 ในแต่ละพจน์ ดังนั้น d = 2
2. ใช้สูตรอนุกรมเลขคณิต: a_n = a₁ + (n-1) × d
3. แทนค่าลงในสูตร: a₁₅ = 2 + (15-1) × 2 = 2 + 28 = 30
4. ดังนั้น พจน์ที่ 15 ของอนุกรมนี้คือ 30

ข้อที่ 3:

กำหนดอนุกรม 3, 7, 11, 15, ... หาพจน์ที่ 12 ของอนุกรมนี้

วิธีทำ:

1. อนุกรมนี้มีการเพิ่มค่าคงที่ 4 ในแต่ละพจน์ ดังนั้น d = 4
2. ใช้สูตรอนุกรมเลขคณิต: a_n = a₁ + (n-1) × d
3. แทนค่าลงในสูตร: a₁₂ = 3 + (12-1) × 4 = 3 + 44 = 47
4. ดังนั้น พจน์ที่ 12 ของอนุกรมนี้คือ 47

ข้อที่ 4:

กำหนดอนุกรม -5, -10, -15, -20, ... หาพจน์ที่ 8 ของอนุกรมนี้

วิธีทำ:

1. อนุกรมนี้มีการเพิ่มค่าคงที่ -5 ในแต่ละพจน์ ดังนั้น d = -5
2. ใช้สูตรอนุกรมเลขคณิต: a_n = a₁ + (n-1) × d
3. แทนค่าลงในสูตร: a₈ = -5 + (8-1) × (-5) = -5 + (-35) = -40
4. ดังนั้น พจน์ที่ 8 ของอนุกรมนี้คือ -40

ข้อที่ 5:

กำหนดอนุกรม 1, 3, 5, 7, ... หาพจน์ที่ 20 ของอนุกรมนี้

วิธีทำ:

1. อนุกรมนี้มีการเพิ่มค่าคงที่ 2 ในแต่ละพจน์ ดังนั้น d = 2
2. ใช้สูตรอนุกรมเลขคณิต: a_n = a₁ + (n-1) × d
3. แทนค่าลงในสูตร: a₂₀ = 1 + (20-1) × 2 = 1 + 38 = 39
4. ดังนั้น พจน์ที่ 20 ของอนุกรมนี้คือ 39

---

หัวข้อที่ 2: อนุกรมเรขาคณิต

ข้อที่ 1:

กำหนดอนุกรม 3, 6, 12, 24, ... หาพจน์ที่ 7 ของอนุกรมนี้

วิธีทำ:

1. อนุกรมนี้มีอัตราส่วนที่คงที่ 2, ดังนั้น r = 2
2. ใช้สูตรอนุกรมเรขาคณิต: a_n = a₁ × r^n-1
3. แทนค่าลงในสูตร: a₇ = 3 × 2⁶ = 3 × 64 = 192
4. ดังนั้น พจน์ที่ 7 ของอนุกรมนี้คือ 192

ข้อที่ 2:

กำหนดอนุกรม 1, 2, 4, 8, ... หาพจน์ที่ 10 ของอนุกรมนี้

วิธีทำ:

1. อนุกรมนี้มีอัตราส่วนที่คงที่ 2, ดังนั้น r = 2
2. ใช้สูตรอนุกรมเรขาคณิต: a_n = a₁ × r^n-1
3. แทนค่าลงในสูตร: a₁₀ = 1 × 2⁹ = 1 × 512 = 512
4. ดังนั้น พจน์ที่ 10 ของอนุกรมนี้คือ 512

ข้อที่ 3:

กำหนดอนุกรม 5, 10, 20, 40, ... หาพจน์ที่ 12 ของอนุกรมนี้

วิธีทำ:

1. อนุกรมนี้มีอัตราส่วนที่คงที่ 2, ดังนั้น r = 2
2. ใช้สูตรอนุกรมเรขาคณิต: a_n = a₁ × r^n-1
3. แทนค่าลงในสูตร: a₁₂ = 5 × 2¹¹ = 5 × 2048 = 10240
4. ดังนั้น พจน์ที่ 12 ของอนุกรมนี้คือ 10240

แบบทดสอบเรื่องอุปมาอุปไมย

คำชี้แจง: เลือกคำตอบที่มีความสัมพันธ์แบบเดียวกับโจทย์